Bloch's theorem
type: Communication100033020
type: Abstraction100002137
type: WikicatMathematicalTheorems
type: Message106598915
type: Statement106722453
type: Proposition106750804
type: Theorem106752293
label: Teorema de Bloch @ca
label: Ona de Bloch @ca
label: Onde de Bloch @fr
label: Теорема Блоха @uk
label: Bloch-Funktion @de
label: 블로흐 파 @ko
label: 布洛赫波 @zh
label: Onda de Bloch @pt
label: Блохівська хвиля @uk
label: ブロッホの定理 @ja
label: Блоховская волна @ru
label: نظرية بلوخ @ar
label: Funzioni di Bloch @it
label: Twierdzenie Blocha @pl
comment: Die Bloch-Funktion oder Bloch-Welle (nach Felix Bloch) ist eine allgemeine Form für die Lösung der stationären Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem periodischen Potential, z. B. die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper (Bloch-Elektron). Die Form dieser Wellenfunktionen wird durch das Bloch-Theorem festgelegt, welches ein Spezialfall des Floquet-Theorems ist: @de
comment: 在固体物理学中，布洛赫波（Bloch wave）是周期性势场（如晶体）中粒子（一般为电子）的波函数，又名布洛赫态（Bloch state）。 布洛赫波因其提出者美籍瑞士裔物理学家菲利克斯·布洛赫而得名。 布洛赫波由一个平面波和一个周期函数 （布洛赫波包）相乘得到。其中 与势场具有相同周期性。布洛赫波的具体形式为： 式中 为波向量。上式表达的波函数称为布洛赫函数。当势场具有晶格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程的解ψ存在性质： 这一结论称为布洛赫定理（Bloch's theorem），其中 为晶格周期向量。可以看出，具有上式性质的波函数可以写成布洛赫函数的形式。 平面波波向量 （又称“布洛赫波向量”，它与约化普朗克常数的乘积即为粒子的晶体动量）表征不同原胞间电子波函数的位相变化，其大小只在一个倒易点阵向量之内才与波函数满足一一对应关系，所以通常只考虑第一布里渊区内的波向量，即所谓“简约波向量”。对一个给定的波矢和势场分布，电子运动的薛定谔方程具有一系列解，称为电子的能带，常用波函数的下标n 以区别。这些能带的能量在 的各个单值区分界处存在有限大小的空隙，称为能隙。在第一布里渊区中所有能量本征态的集合构成了电子的能带结构。在单电子近似的框架内，周期性势场中电子运动的宏观性质都可以根据能带结构及相应的波函数计算出。 @zh
comment: في فيزياء المادة المكثفة، تنص نظرية بلوخ على أن حلول معادلة شرودنغر في الجهد الدوري تأخذ شكل موجة مستوية يتم تعديلها بواسطة دالة دورية. رياضيًا: حيث هو الموضع، هي دالة الموجة، هي دالة دورية لها نفس تواتر البلورة، متجه الموجة وهو ناقل الزخم البلوري، هو عدد أويلر، و هي الوحدة التخيلية. تُعرف وظائف هذا النموذج بدوال بلوخ أو حالات بلوخ، وتعمل كأساس مناسب لدالة الموجة أو حالات الإلكترونات في المواد الصلبة البلورية. @ar
comment: Бло́ховская волна́ (волна́ Бло́ха) — названная в честь Феликса Блоха волновая функция частицы (обычно электрона), расположенной в периодическом потенциале. Состоит из произведения плоской волны на некоторую периодическую функцию (периодическая часть блоховской волновой функции) unk(r), имеющую ту же периодичность, что и потенциал. где — периодические функции, k — волновой вектор частицы. @ru
comment: Les ondes de Bloch, d'après Félix Bloch, sont les fonctions d'ondes décrivant les états quantiques des électrons soumis à un potentiel périodique. C'est notamment le cas du cristal parfait infini, les électrons sont soumis à un potentiel périodique ayant la symétrie de translation des atomes constituant le cristal. @fr
comment: Теорема Блоха — важная теорема физики твёрдого тела, устанавливающая вид волновой функции частицы, находящейся в периодическом потенциале. Названа в честь швейцарского физика Феликса Блоха. В одномерном случае эту теорему часто называют теоремой Флоке. Сформулирована в 1928 году. @ru
comment: Twierdzenie Blocha – jedno z podstawowych twierdzeń w fizyce ciała stałego, mówiące o ogólnej postaci rozwiązania równania Schrödingera dla periodycznego potencjału. Autorem tego twierdzenia jest Felix Bloch. @pl
comment: Uma onda de Bloch (ou estado Bloch), em homenagem o físico suíço Felix Bloch, é um tipo de função de onda para uma partícula em um ambiente de repetição periódica, mais comumente um elétron em um cristal. @pt
comment: In fisica dello stato solido, le funzioni di Bloch sono le funzioni d'onda di singola particella, in genere un elettrone, in un potenziale periodico, come quello definito da un cristallo. Sono state introdotte nel 1928 dal fisico Felix Bloch, da cui prendono il nome; egli applicò la teoria degli orbitali molecolari ai solidi metallici, considerandoli come un'unica particella con un'enormità di OM. Interessante è il fatto che questa fu una delle prime applicazioni della OM, perfino antecedente all'applicazione alle molecole nella descrizione del legame covalente. @it
comment: Блохівська хвиля (хвиля Блоха) — названа на честь Фелікса Блоха хвильова функція частинки (зазвичай електрона), розташованої в періодичному потенціалі. Складається з добутку плоскої хвилі на деяку періодичну функцію (періодична частина блохівської хвильової функції) unk(r), що має ту ж періодичність, що і потенціал. де — періодичні функції, k — хвильовий вектор частинки. @uk
comment: 量子力学や物性物理学におけるブロッホの定理（ブロッホのていり、英: Bloch's theorem）とは、ハミルトニアンが空間的な周期性（並進対称性）をもつ場合に、その固有関数が満たす性質を表した定理のこと。1928年に、フェリックス・ブロッホによって導出された。 結晶は基本格子ベクトルだけ並進すると自分自身と重なり合うため、並進対称性を持つ。よって結晶のエネルギーバンドを計算する際にブロッホの定理は重要となる。 @ja
comment: Una ona de Bloch o estat de Bloch (anomenat en honor de Felix Bloch) és la funció d'ona d'una partícula (normalment un electró) col·locada en un potencial periòdic. El teorema de Bloch postula que l'autofunció d'energia de tal sistema es pot escriure com el producte d'una funció d'ona plana i una funció periòdica (funció periòdica de Bloch) que té la mateixa periodicitat que el potencial: @ca
comment: Una Onda de Bloch (también llamada Estado de Bloch, Función de Bloch o Función de onda de Bloch), llamada así por el físico suizo Felix Bloch, es un tipo de función de onda de una partícula en un medio periódico, como un electrón en un sólido cristalino. Una función de onda ψ es una onda de Bloch si tiene la forma:​ donde r es la posición, u es una función periódica con la misma periodicidad que el cristal, y k es un número real, llamado el vector de onda del cristal. En otras palabras, si se multiplica una onda plana por una función periódica, se obtiene una onda de Bloch. @es
comment: 블로흐 파(Bloch wave) 또는 블로흐 상태(Bloch state)란 주기적인 퍼텐셜 상의 입자에 대한 파동 함수다. 주기적인 퍼텐셜에선 파동함수도 주기적으로 나타나게 되는데 그 형태가 외피에 주기적인 함수가 들어있는 형태로 되어 있다는 것을 펠릭스 블로흐가 밝혀내었다. 이를 블로흐 정리(Bloch theorem)라 한다. @ko
comment: Теорема Блоха — одне із основних тверджень квантової теорії ідеальних кристалів, яке задає загальний вигляд хвильових функцій електронних станів у твердому тілі з трансляційною симетрією. @uk
comment: El teorema de Bloch describe el movimiento de los electrones en un sólido. Fue enunciado por el físico suizo Felix Bloch basándose en la idea de que un sólido posee una estructura microscópica periódica. A partir de esta hipótesis, el teorema establece de qué manera deben ser las funciones de onda de los electrones, y permite tratar el movimiento de todos los electrones analizando únicamente el movimiento de un solo electrón. @es
comment: In condensed matter physics, Bloch's theorem states that solutions to the Schrödinger equation in a periodic potential take the form of a plane wave modulated by a periodic function. The theorem is named after the physicist Felix Bloch, who discovered the theorem in 1929. Mathematically, they are written Bloch function where is position, is the wave function, is a periodic function with the same periodicity as the crystal, the wave vector is the crystal momentum vector, is Euler's number, and is the imaginary unit.
subject: Category:Quantum states
subject: Category:Condensed matter physics
abstract: Una ona de Bloch o estat de Bloch (anomenat en honor de Felix Bloch) és la funció d'ona d'una partícula (normalment un electró) col·locada en un potencial periòdic. El teorema de Bloch postula que l'autofunció d'energia de tal sistema es pot escriure com el producte d'una funció d'ona plana i una funció periòdica (funció periòdica de Bloch) que té la mateixa periodicitat que el potencial: Els autovalors d'energia corresponents són ϵn(k) = ϵn(k + K), periòdic amb una periodicitat K d'un vector de xarxa recíproca. Les energies associades amb l'índex n varien contínuament amb el vector d'ona k i formen una banda d'energia identificada per un índex de banda n. Els autovalors per una n donada són periòdics en k; tots els valors diferents de ϵn(k) ocorren per k-valors dins de la primera zona de Brillouin de la xarxa recíproca. De fet, el teorema de Bloch és una conseqüència directa de la simetria translacional dels cristalls, la qual cosa significa que el cristall és invariant sota un moviment translacional de la forma , on són enters i són els vectors de xarxa primitius. Si denota l'operació de translació que pot ser aplicada a una funció d'ona en la direcció de la forma , on són enters, es pot veure que l'operació forma un grup amb la mateixa llei de combinació que . Com que el sistema cristal·lí –i, per tant, el seu hamiltonià– és invariant després de tals translacions, l'operador de translació ha de ser commutatiu amb l'operador hamiltonià, per la qual cosa poden ser diagonalitzats simultàniament. D'aquesta manera, cada funció pròpia del hamiltonià pot ser una funció pròpia de l'operador de translació. Per mantenir la funció d'ona normalitzada de manera correcta, l'autovalor per a l'operador de translació ha de ser de la forma , on és una funció del vector de translació . Aplicant aquestes dues translacions i consecutivament a una funció d'ona, es pot mostrar . Per tant, la funció es pot escriure com el producte escalar dels vectors de translació i un vector a causa d… @ca
abstract: في فيزياء المادة المكثفة، تنص نظرية بلوخ على أن حلول معادلة شرودنغر في الجهد الدوري تأخذ شكل موجة مستوية يتم تعديلها بواسطة دالة دورية. رياضيًا: حيث هو الموضع، هي دالة الموجة، هي دالة دورية لها نفس تواتر البلورة، متجه الموجة وهو ناقل الزخم البلوري، هو عدد أويلر، و هي الوحدة التخيلية. تُعرف وظائف هذا النموذج بدوال بلوخ أو حالات بلوخ، وتعمل كأساس مناسب لدالة الموجة أو حالات الإلكترونات في المواد الصلبة البلورية. سميت على اسم الفيزيائي السويسري فليكس بلوخ، ووصف الإلكترونات من حيث دالة بلوخ، التي يطلق عليها إلكترونات بلوخ (أو في كثير من الأحيان موجات بلوخ)، يكمن وراء مفهوم هياكل النطاق الإلكترونية. تتم كتابة هذه الحالات الذاتية مع الرموز الفرعية كـ، حيث هو محدد النطاق، يسمى مؤشر النطاق، وهو موجود نظرًا لوجود العديد من الدوال الموجية المختلفة بنفس (لكل منها مكون دوري مختلف ). داخل النطاق (بمعنى آخر )، يختلف باستمرار مع ، كما تختلف طاقتها. أيضا، فريد فقط حتى ثبات متجه الشبيكة المقلوبة ، أو، . لذلك، موجه الموجة يمكن حصره في أول منطقة بريليون من الشبكة المتبادلة دون فقد العمومية. @ar
abstract: Бло́ховская волна́ (волна́ Бло́ха) — названная в честь Феликса Блоха волновая функция частицы (обычно электрона), расположенной в периодическом потенциале. Состоит из произведения плоской волны на некоторую периодическую функцию (периодическая часть блоховской волновой функции) unk(r), имеющую ту же периодичность, что и потенциал. где — периодические функции, k — волновой вектор частицы. Согласно теореме Блоха, в таком виде можно представить все собственные функции периодической системы. Соответствующие им собственные значения энергии En(k) = En(k + K) периодичны по векторам обратной решётки K. Поскольку уровни энергии, относящиеся к конкретному индексу n, изменяются непрерывно по волновым векторам k, говорят об энергетической зоне с индексом n. Так как собственные значения энергии при заданном n периодичны по k, то волновой вектор может быть задан лишь с точностью до векторов обратной решётки, все различные значения En(k) соответствуют векторам k из первой зоны Бриллюэна обратной решётки, и рассмотрению подлежат именно они. @ru
abstract: 在固体物理学中，布洛赫波（Bloch wave）是周期性势场（如晶体）中粒子（一般为电子）的波函数，又名布洛赫态（Bloch state）。 布洛赫波因其提出者美籍瑞士裔物理学家菲利克斯·布洛赫而得名。 布洛赫波由一个平面波和一个周期函数 （布洛赫波包）相乘得到。其中 与势场具有相同周期性。布洛赫波的具体形式为： 式中 为波向量。上式表达的波函数称为布洛赫函数。当势场具有晶格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程的解ψ存在性质： 这一结论称为布洛赫定理（Bloch's theorem），其中 为晶格周期向量。可以看出，具有上式性质的波函数可以写成布洛赫函数的形式。 平面波波向量 （又称“布洛赫波向量”，它与约化普朗克常数的乘积即为粒子的晶体动量）表征不同原胞间电子波函数的位相变化，其大小只在一个倒易点阵向量之内才与波函数满足一一对应关系，所以通常只考虑第一布里渊区内的波向量，即所谓“简约波向量”。对一个给定的波矢和势场分布，电子运动的薛定谔方程具有一系列解，称为电子的能带，常用波函数的下标n 以区别。这些能带的能量在 的各个单值区分界处存在有限大小的空隙，称为能隙。在第一布里渊区中所有能量本征态的集合构成了电子的能带结构。在单电子近似的框架内，周期性势场中电子运动的宏观性质都可以根据能带结构及相应的波函数计算出。 上述结果的一个推论为：在确定的完整晶体结构中，布洛赫波向量 是一个守恒量（以倒易点阵向量为模），即电子波的群速度为守恒量。换言之，在完整晶体中，电子运动可以不被格点散射地传播（所以该模型又称为近自由电子近似），晶态导体的电阻仅仅来自那些破坏了势场周期性的晶体缺陷以及电子与声子的相互作用。 从薛定谔方程出发可以证明，哈密顿算符与平移算符的作用次序满足交换律，所以周期势场中粒子的本征波函数总是可以写成布洛赫函数的形式。更广义地说，本征函数满足的算符作用对称关系是群论中表示理论的一个特例。 布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体的导电性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（1877年），（1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（1892年）等独立地提出。因此，类似性质的概念在各个领域有着不同的名称：常微分方程理论中称为弗洛凯理论（也有人称“李雅普诺夫-弗洛凯定理”）；一维周期性波动方程则有时被称为希尔方程。 @zh
abstract: Блохівська хвиля (хвиля Блоха) — названа на честь Фелікса Блоха хвильова функція частинки (зазвичай електрона), розташованої в періодичному потенціалі. Складається з добутку плоскої хвилі на деяку періодичну функцію (періодична частина блохівської хвильової функції) unk(r), що має ту ж періодичність, що і потенціал. де — періодичні функції, k — хвильовий вектор частинки. Згідно з теоремою Блоха, в такому вигляді можна представити все власні функції періодичної системи. Відповідні їм власні значення енергії En(k) = En(k + K) періодичні по векторах оберненої ґратки k. Оскільки рівні енергії, що відносяться до конкретного індексу n, змінюються неперервно по хвильовим векторам k, кажуть про енергетичну зоні з індексом n. Так як власні значення енергії при заданому n періодичні по k, то хвильовий вектор може бути заданий лише з точністю до векторів оберненої ґратки, все різні значення En(k) відповідають векторам k з першої зони Бріллюена оберненої ґратки, і розгляду підлягають саме вони. @uk
abstract: In condensed matter physics, Bloch's theorem states that solutions to the Schrödinger equation in a periodic potential take the form of a plane wave modulated by a periodic function. The theorem is named after the physicist Felix Bloch, who discovered the theorem in 1929. Mathematically, they are written Bloch function where is position, is the wave function, is a periodic function with the same periodicity as the crystal, the wave vector is the crystal momentum vector, is Euler's number, and is the imaginary unit. Functions of this form are known as Bloch functions or Bloch states, and serve as a suitable basis for the wave functions or states of electrons in crystalline solids. Named after Swiss physicist Felix Bloch, the description of electrons in terms of Bloch functions, termed Bloch electrons (or less often Bloch Waves), underlies the concept of electronic band structures. These eigenstates are written with subscripts as , where is a discrete index, called the band index, which is present because there are many different wave functions with the same (each has a different periodic component ). Within a band (i.e., for fixed ), varies continuously with , as does its energy. Also, is unique only up to a constant reciprocal lattice vector , or, . Therefore, the wave vector can be restricted to the first Brillouin zone of the reciprocal lattice without loss of generality.
abstract: Die Bloch-Funktion oder Bloch-Welle (nach Felix Bloch) ist eine allgemeine Form für die Lösung der stationären Schrödingergleichung für ein Teilchen in einem periodischen Potential, z. B. die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper (Bloch-Elektron). Die Form dieser Wellenfunktionen wird durch das Bloch-Theorem festgelegt, welches ein Spezialfall des Floquet-Theorems ist: Die Periodizität des Potentials überträgt sich also auf und damit auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des betrachteten Teilchens im Potential. Für ein Elektron in so einem Energieeigenzustand ist daher die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in jeder Elementarzelle gleich groß und zeigt den gleichen räumlichen Verlauf. In einem kristallinen Festkörper ist die Periodizität gegeben durch das Kristallgitter, ist ein Gittervektor. Ist das Potential zeitunabhängig, kann als reell angesetzt werden. @de
abstract: Una Onda de Bloch (también llamada Estado de Bloch, Función de Bloch o Función de onda de Bloch), llamada así por el físico suizo Felix Bloch, es un tipo de función de onda de una partícula en un medio periódico, como un electrón en un sólido cristalino. Una función de onda ψ es una onda de Bloch si tiene la forma:​ donde r es la posición, u es una función periódica con la misma periodicidad que el cristal, y k es un número real, llamado el vector de onda del cristal. En otras palabras, si se multiplica una onda plana por una función periódica, se obtiene una onda de Bloch. Las ondas de Bloch son importantes debido al Teorema de Bloch, que afirma que el autoestado de energía de un electrón en un cristal puede ser descrito con ondas de Bloch. Más precisamente, indica que la función de onda de un electrón en un cristal tiene una base que está formada solamente por autoestados de energía de Bloch. Este hecho da lugar a la teoría de bandas. Los autoestados de las funciones de onda se escriben con subíndices, como ψn k, donde n es un valor discreto, llamado índice de energía de banda, y que diferencia a las múltiples ondas de Bloch con el mismo k (cada una con un componente periódico u distinto). Dentro de una banda (es decir, para un determinado n), ψn k varía de manera continua con k, así como su energía. @es
wiki page length: 40969
name: Lemma
title: Proof of Lemma
title: Proof
title: Proof with Character Theory
math statement: If a wave function is an eigenstate of all of the translation operators , then is a Bloch state.
proof: Assume that we have a wave function which is an eigenstate of all the translation operators. As a special case of this, for j = 1, 2, 3, where Cj are three numbers which do not depend on r. It is helpful to write the numbers Cj in a different form, by choosing three numbers θ1, θ2, θ3 with : Again, the θj are three numbers which do not depend on r. Define , where bj are the reciprocal lattice vectors . Finally, define Then This proves that u has the periodicity of the lattice. Since , that proves that the state is a Bloch state.
proof: All Translations are unitary and Abelian. Translations can be written in terms of unit vectors We can think of these as commuting operators where The commutativity of the operators gives three commuting cyclic subgroups which are infinite, 1-dimensional and abelian. All irreducible representations of Abelian groups are one dimensional. Given they are one dimensional the matrix representation and the character are the same. The character is the representation over the complex numbers of the group or also the trace of the representation which in this case is a one dimensional matrix. All these subgroups, given they are cyclic, they have characters which are appropriate roots of unity. In fact they have one generator which shall obey to , and therefore the character . Note that this is straightforward in the finite cyclic group case but in the countable infinite case of the infinite cyclic group there is a limit for where the character remains finite. Given the character is a root of unity, for each subgroup the character can be then written as If we introduce the Born–von Karman boundary condition on the potential: where L is a macroscopic periodicity in the direction that can also be seen as a multiple of where This substituting in the time independent Schrödinger equation with a simple effective Hamiltonian induces a periodicity with the wave function: And for each dimension a translation operator with a period L From here we can see that also the character shall be invariant by a translation of : and from the last equation we get for each dimension a periodic condition: where is an integer and The wave vector identify the irreducible representation in the same manner as , and is a macroscopic periodic length of the crystal in direction . In this context, the wave vector serves as a quantum number for the translation operator. We can generalize this for 3 dimensions and the generic formula for the wave function becomes: i.e. specializing it for a translation and we …
proof: We remain with
proof: The second order term Again with Eliminating and we have the theorem
proof: We evaluate the derivatives and given they are the coefficients of the following expansion in q where q is considered small with respect to k Given are eigenvalues of We can consider the following perturbation problem in q: Perturbation theory of the second order states that To compute to linear order in q where the integrations are over a primitive cell or the entire crystal, given if the integral is normalized across the cell or the crystal. We can simplify over q to obtain and we can reinsert the complete wave functions